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完全二分木とは？
完全二分木とは、バイナリツリーの1つで、すべての内部ノードが2つの子ノードを持ち、深さが全て等しいツリーのことを指します。具体的には、以下の特徴を持ちます。
– 根からの距離がkのノードがある場合、そのノードの子ノードの深さは必ずk+1である
– 深さがdの完全二分木で、葉の数がnである場合、ノードの総数は2^(d+1)-1である
完全二分木は、データ構造においてよく利用されます。配列と組み合わせることで、高速なデータの挿入、削除、検索が可能になります。
完全二分木の性質
完全二分木には、以下のような性質があります。
1. 葉の数が多いほど、深い位置に葉が存在する
完全二分木では、葉の数が最大の場合、深さが最大となります。つまり、葉の数が多いほど、深い位置に葉が存在することになります。
2. 葉以外のノードは必ず2つの子ノードを持つ
完全二分木では、すべての内部ノードが2つの子ノードを持つため、葉以外のノードは必ず2つの子ノードを持ちます。この性質から、データ構造での効率的な操作が可能になります。
3. 深さとノード数に関する公式
深さがdの完全二分木で、葉の数がnである場合、ノードの総数は2^(d+1)-1であり、葉の数は2^dであるという公式があります。
完全二分木の例
以下は、深さが3で葉の数が7の完全二分木の例です。
“`
1
/
2 3
/ /
4 5 6 7
“`
このような構造を持つことから、完全二分木は、データ構造において高速な操作が可能であることがわかります。
まとめ
完全二分木は、すべての内部ノードが2つの子ノードを持ち、深さが全て等しいツリーです。データ構造において、配列と組み合わせることで高速な操作が可能になります。完全二分木の性質を理解し、効率的なプログラムを作成する際に、参考にしてみてください。
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